Các Phương Trình Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất, Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

By Admin 05/04/2023 0


Các dạng toán về phương trình lượng giác, cách giải và bài tập từ cơ bản đến nâng cao - Toán lớp 11

Sau khi làm quen với hàm số lượng giác, các dạng bài tập về phương trình lượng giác là nội dung tiếp theo các em sẽ được học trong chương trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Các Phương Trình Lượng Giác Toán 10 Đầy Đủ Nhất, Cách Giải Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác

Vì thế Nêu các dạng toán về phương trình lượng giác và cách giải? Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời áp dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

I. Lý thuyết phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (Đầu tiên)

° |a| > 1: Phương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: Gọi α là cung thỏa sinα = a thì phương trình (1) có nghiệm là:

x = α + k2π, ( )

và x = - α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*
và sinα = a, thì chúng ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

x = arcsina + k2π, ()

và x = - arcsina + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm sau:

x = β0 + k3600, ()

và x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Phương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: Gọi α là cung thỏa mãn cosα = a thì phương trình (2) có nghiệm là:

x = ±α + k2π, ()

- Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

x = ±arcosa + k2π, ()

- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm sau:

x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập xác định, điều kiện của phương trình (3) là:

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

II. Các dạng toán về phương trình lượng giác và cách giải

° Dạng 1: Giải các phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Sử dụng các công thức giải tương ứng cho mỗi phương trình.

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình sau:

a) b)

b)

đ)

*

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

Một)

*

*

b)

*

*

*

c)

*

*

*

*

đ)

*
*

*
*
*
*

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Một)

b)

c)

đ)

° Giải pháp:

Một)

*

*
*
*

b)

*

*
*
*

c)

*

*
*

đ)

*

*
*

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác rồi đưa về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

- Sử dụng các công thức biến đổi để đưa phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Một)

*

b)

*

c)

*

đ)

*

° Giải pháp:

Một)

*
*

*
*
*

+ Với

*
*
hoặc
*

+ Với

*
*
hoặc
*

b)

*
*

*
*

c)

*
*

*

*

*

*

đ)

*
*

*
*

*
hoặc
*

*

* Xin lưu ý: Bài toán trên sử dụng công thức:

*
*

*
*

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

Một)

b)

° Giải pháp:

Một)

*
*

*
*

*
hoặc
*
với
*

b)

*
*

*
*

*

*
hoặc
*
với
*

* Xin lưu ý: Bài toán áp dụng công thức quy tích thành tổng:

*

*

*

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b) cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d) sin2x + sin22x = sin23x

° Giải pháp:

Một)

*

*
*

*
*

b)

*

*
*

*
*
*

c)

*

*

*

*

hoặc

*

hoặc

*

*
hoặc
*
hoặc
*

*
hoặc
*
hoặc
*
với
*

đ)

*

*

*

*

*

*

*

*
*

*
hoặc
*
hoặc
*

* Xin lưu ý: Bài toán trên áp dụng phép biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

*

*

*

Xem thêm: giày ulzzang có tốt không

*

*

*
*

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Quay về dạng so sánh cơ bản, ví dụ:

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

Một)

b)

° Giải pháp:

Một)

*
*

+ Với

*

+ Với

*

b)

*

*

*

*
hoặc
*

+ Với

*
*
*

+ Với

*
: không có giải pháp.

° Dạng 4: Phương trình bậc hai một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn t rồi giải phương trình bậc hai đối với t chẳng hạn:

+ Giải phương trình: asin2x + bsinx + c = 0;

+ Đặt t=sinx (-1≤t≤1) ta có phương trình at2 + bt + c = 0.

* Xin lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau

Một)

b)

° Giải pháp:

Một)

- Ngồi xuống

*
ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2.

+ Với t = 1: sinx = 1

*

+ Với t=1/2:

*

*
hoặc
*

b)

*
*

+ Bộ

*
ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

⇔ t = 3/2 hay t = -1/2.

+ t = 3/2 >1 phải bị loại

+

*
*
*

* Chú ý: Cho phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

- Ta có: cosx = 0 không là nghiệm của phương trình, vì a≠0,

Chia cả 2 vế cho cos2x ta có: atan2x + btanx + c = 0 (lấy PT bậc 2 với tanx)

- Nếu phương trình có dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta thay d = d.sin2x + d.cos2x rồi rút gọn về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình có dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

Cách 1: Chia cả hai vế của phương trình, ta được:

- Nếu phương trình vô nghiệm

- Nếu vậy thì ngồi đi.

(hoặc)

- Đưa PT về dạng: (hoặc ).

Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

- Đặt lại PT về dạng phương trình bậc hai đối với t.

* Xin lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng phổ biến của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải phương trình sau:

Một)

b)

° Giải pháp:

Một)

+ Ta có:

*
sau đó:

*

+ Bộ

*
ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1 .

*
*
*

b)

*
*

*

*
hoặc
*

*
hoặc
*

* Xin lưu ý: Vấn đề sử dụng công thức:

*

*

° Dạng 6: Phương trình đối xứng sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Hóa trị Be - Brôm hóa trị Min

* Phương pháp

- Đặt t = sinx + cosx thì: Thay thế vào phương trình, chúng tôi nhận được:

bt2 + 2at + 2c - b = 0

- Xin lưu ý:
*

nên trạng thái của t là:

- Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT

phải kiểm tra (so sánh) điều kiện của t.

- Phương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT đối xứng, nhưng cũng có thể giải theo cách tương tự:

Đặt t = sinx - cosx; * *

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Một) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b)

sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Giải pháp: a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0 + Ngồi t = sinx + cosx, ,

sau đó:

Thay thế vào phương trình, chúng tôi nhận được:

*

2t2 - 2t - 1 = 0

hoặc

+ Với

*
*

*

*

+ Tương tự, với *

b)

sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

*

* - Ngồi t = sinx + cosx, ,

sau đó:

Thay thế vào phương trình, chúng tôi nhận được:
*
*

*

+ Với t=1

*

*

*
*

hoặc
*
*

hoặc

*
+ Với

*

: kiểu III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác *

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11):

Với những giá trị nào của x thì các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Chúng ta có:

*
*

*

*
- Vì vậy
*

sau đó *

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11):

Giải phương trình sau:

Một)

b)

*

c)

đ)

° Giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

Một)
*

*

- Kết luận: PT có nghiệm*

b) c

os3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k Z

- Kết luận: PT có nghiệm x = ±4º + k.120º , k Z

c)

*

*

hoặc

*
*

hoặc

*
*

hoặc

*

đ)
*

hoặc

*
*

hoặc

*
*

hoặc * *

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11):

Giải phương trình

° Giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Chúng ta có:

*
*

*

*

+ Ở đây ta phải so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ, tức là: k = 2n + 1
*

*

(đáp ứng điều kiện)
- Xét k bằng nhau tức là: k = 2n
*

*

(không đủ điều kiện)

- Kết luận: Vậy PT có một họ nghiệm là * *

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11):

Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

*
*

*
*

hoặc

*

- Kết luận: PT có nghiệm *

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11):

Giải phương trình sau:

a) 2cos2x–3cosx + 1 = 0
b) 2sin2x +

*

.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

Xem thêm: dép sục nam có tốt không

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)- Đặt t = cosx, điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1 thì PT trở thành (1): 2t2 – 3t + 1 = 0