Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Phẳng, Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz


[embed]https://www.youtube.com/watch?v=sKColvcJXZk[/embed]

Viết phương trình đường bậc trong không gian Oxyz hay viết phương trình đường bậc đi qua 3 điểm là dạng toán quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây x-lair.com sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề viết phương trình máy bay trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!

Bạn đang xem: Phương Trình Tổng Quát Của Mặt Phẳng, Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz

MỤC LỤC

1 Phương trình mặt phẳng trong không gian3 Các dạng đối tượng của phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

So sánh mức độ trong không gian

So sánh tổng quát về mức trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với \(A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\)

Muốn viết phương trình mức trong không gian Chúng ta cần xác định 2 dữ kiện:

Vị trí tương đối của hai mức

*

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A'x + B'y + C'z + D' = 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A'} \neq \frac{B}{B'} \neq \frac{C}{C'}\)

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} \neq \frac{D}{D'}\)

Hai máy bay va chạm khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'} = \frac{D}{D'}\)

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \(AA' + BB' + CC' = 0\)

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Bạn đang xem: Tổng hợp so sánh các loại máy bay

Khi đó khoảng cách từ điểm M đến (P) được xác định như sau:

\(d(A, (P)) = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} }\)

Tổng hợp lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian

*

Các dạng đối tượng của phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết một điểm thuộc mặt phẳng và vectơ pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\)

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến \(\vec{n}(A, B, C)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0\)

*

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;1;1) và có VTPT \(\vec{n} = (1; -1; 2)\)

Giải pháp:

Thay tọa độ của điểm M và VTPP \(\vec{n}\), ta có:

(P): \((1)(x – 3) + (-1)(y – 1) + 2(z – 1) = 0 \Mũi tên Trái Phải x – y + 2z – 4 = 0\)

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Do mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A,B,C. Vậy mặt phẳng (P) có mấy vectơ chỉ phương \(\vec{AB} ; \vec{AC}\)

Khi đó ta gọi \(\vec{n}\) là vectơ pháp tuyến của (P) thì \(\vec{n}\) sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ \(\vec{AB}\ ) và \(\vec{AC}\). Tức là \(\vec{n} = \left \)

*

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)

Giải pháp:

Xem thêm: tóc layer mái bay có tốt không

Ta có: \(\vec{AB} = (-2;1;0); \vec{AC} = (-2.0,-1) \Rightarrow \left = (-1,-2,2)\ )

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là \(\vec{n} = \left = (-1,-2,2)\) và đi qua điểm A(1,1,3) nên có sự so sánh:

\((-1)(x – 1) – 2(y – 1) + 2(z – 3) = 0\Mũi tên Trái Phải -x – 2y + 2z – 3 = 0\)

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mp(P) nên ta tìm M bằng cách thay tọa độ của M vào pt(P).

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình:

\(A(x – x_{0}) + B(y – y_{0}) + C(z – z_{0}) = 0\)

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Giải pháp:

Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Vậy (P) có dạng: 2x–3y + z + m = 0

Do (P) đi qua M nên thay tọa độ của M vào (1;-2,3) ta có:

\(2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 \Mũi tên Trái Phải m = -11\)

Vậy phương trình (P): 2x–3y + z–11 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và đường thẳng d.

Xem thêm: Chất khử là gì? Chất oxy hóa là gì Chất oxy hóa trong cơ thể là gì

Lấy điểm A trên đường thẳng d ta tìm được vectơ \(\vec{MA}\) và VTCP \(\vec{u}\), từ đó tìm được VTPT \(2.1 \vec{n} = \left \) .

Thay tọa độ vào, ta được phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1 } {1 } = \frac{z + 1}{1}\)

Giải pháp:

Lấy điểm A(3;-1;-1) trên đường thẳng d.

Xem thêm: shynh house có tốt không

Suy ra \(\vec{MA} (0; -2; -1)\) và VTCP \(\vec{u} (-2; 1; 1)\)

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \(\vec{n} = \left = (-1; 2; 4)\)

Vậy phương trình mặt phẳng (P): \(-1(x – 3) + 2(y – 1) – 4z = 0\Mũi tên trái phải -x + 2y – 4z + 1 = 0\)